### **PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN TRẢ LỜI** **Câu 1:** Hàm số $y = x^4 - 1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? * **Giải thích:** Đạo hàm $y' = 4x^3$. Để hàm số đồng biến thì $y' > 0 \Leftrightarrow 4x^3 > 0 \Leftrightarrow x > 0$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. * **Đáp án:** **C** **Câu 2:** Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 2$. Khẳng định nào sau đây là đúng? * **Giải thích:** Đạo hàm $y' = 3x^2 + 6x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$. Dấu của $y'$: $y' > 0$ trên $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$ (hàm đồng biến); $y' < 0$ trên $(-2; 0)$ (hàm nghịch biến). * **Đáp án:** **A** (Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$ là sai, đáp án A in lỗi chữ đồng/nghịch nhưng xét theo chuẩn thì nó là "đồng biến". Xin đọc lại các đáp án trong ảnh: Đáp án A ghi "Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -2)$...". Đợi chút, theo ảnh chụp: A. Nghịch biến trên $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$. B. Đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$... Nhìn kỹ lại thì ở Câu 2, đáp án A là **Hàm số nghịch biến...** là sai. Nhìn kỹ Câu 2, đáp án đúng là: $y' > 0$ khi $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \Rightarrow$ Hàm số **đồng biến** trên $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$. Đáp án C trong ảnh ghi: "Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$". * **Sửa lại đáp án:** **C** **Câu 3:** Cho hàm số $y = x^4 + 4x^2 + 3$. Mệnh đề nào sau đây đúng? * **Giải thích:** Đạo hàm $y' = 4x^3 + 8x = 4x(x^2 + 2)$. Vì $x^2 + 2 > 0$ với mọi $x$ nên dấu của $y'$ phụ thuộc vào $x$. $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$. $y' < 0$ trên $(-\infty; 0)$ và $y' > 0$ trên $(0; +\infty)$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$. * **Đáp án:** **C** **Câu 4:** Cho hàm số $y = \sqrt{6 - x - x^2}$. Hàm số đồng biến trên * **Giải thích:** TXĐ: $6 - x - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -3 \le x \le 2$. Đạo hàm $y' = \frac{-1 - 2x}{2\sqrt{6 - x - x^2}}$. Để hàm số đồng biến thì $y' > 0 \Leftrightarrow -1 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < -\frac{1}{2}$. Kết hợp TXĐ ta có $x \in \left(-3; -\frac{1}{2}\right)$. * **Đáp án:** **B** **Câu 5:** Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? * **Giải thích:** Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy $y' > 0$ trên khoảng $(0; 2)$. * **Đáp án:** **D** **Câu 6:** Cho hàm số $y = f(x)$ xác định với mọi $x \neq -4$ có bảng biến thiên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào? * **Giải thích:** Bảng biến thiên cho thấy $y' > 0$ mang dấu $(+)$ trên các khoảng $(-7; -4)$ và $(-4; 4)$. Đối chiếu với các đáp án, khoảng $(-7; -4)$ thoả mãn. * **Đáp án:** **B** **Câu 7:** Đường cong của hình vẽ bên là đồ thị hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c,d$ là các số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng? * **Giải thích:** Đồ thị có tiệm cận đứng $x = 2$, suy ra $x \neq 2$ là tập xác định. Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên từng khoảng xác định, chứng tỏ hàm số nghịch biến $\Rightarrow y' < 0, \forall x \neq 2$. * **Đáp án:** **D** **Câu 8:** Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình dưới. Hãy chọn đáp án đúng. * **Giải thích:** Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ và $x = -1$. Trên khoảng $(0; 2)$ đồ thị đang đi xuống nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$. * **Đáp án:** **A** **Câu 9:** Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây? * **Giải thích:** Đồ thị hàm số đi lên (đồng biến) trong khoảng giữa hai điểm cực trị là từ $x = -1$ đến $x = 1$. Khoảng $(0; 1)$ là tập con của $(-1; 1)$ nên hàm số cũng đồng biến trên khoảng này. * **Đáp án:** **D** **Câu 10:** Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau. * **Giải thích:** Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, $y'$ mang dấu $(-)$ (nghịch biến) trên các khoảng $(-2; 0)$ và $(0; 2)$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$. * **Đáp án:** **C** **Câu 11:** Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào? * **Giải thích:** Quan sát đồ thị, điểm cực đại nằm tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2. Hàm số đi lên (đồng biến) trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. * **Đáp án:** **C** **Câu 12:** Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y = \frac{mx+2}{2x+m}$ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. * **Giải thích:** Đạo hàm $y' = \frac{m^2 - 4}{(2x+m)^2}$. Để hàm phân thức bậc 1/bậc 1 đồng biến thì $y' > 0, \forall x \neq -\frac{m}{2} \Leftrightarrow m^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow m < -2$ hoặc $m > 2$. * **Đáp án:** **D** **Câu 13:** Tìm số phần tử của tập hợp $S$ các giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y = \frac{mx - 2m - 3}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$. * **Giải thích:** TXĐ: $x \neq m$. Đạo hàm $y' = \frac{-m^2 + 2m + 3}{(x-m)^2}$. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \begin{cases} y' > 0 \\ m \notin (2; +\infty) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -m^2 + 2m + 3 > 0 \\ m \le 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -1 < m < 3 \\ m \le 2 \end{cases} \Leftrightarrow -1 < m \le 2$. Các số nguyên $m$ là: $\{0, 1, 2\}$ $\Rightarrow$ có $3$ phần tử. * **Đáp án:** **A** **Câu 14:** Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^2 + 2, \forall x \in \mathbb{R}$. * **Giải thích:** Do $f'(x) = x^2 + 2 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$, nên hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vì $-1 < 1$ nên $f(-1) < f(1)$. * **Đáp án:** **D** **Câu 15:** Hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi: * **Giải thích:** $y' = 3ax^2 + 2bx + c$. Để $y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$: + Trường hợp $a = 0 \Rightarrow b = 0, c > 0$ (Đường thẳng dốc lên). + Trường hợp $a \neq 0 \Rightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \le 0 \end{cases}$. * **Đáp án:** **D** **Câu 16:** Bảng xét dấu đạo hàm. Mệnh đề nào dưới đây đúng? * **Giải thích:** Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, $y' < 0$ trên $(0; 2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$. * **Đáp án:** **C** **Câu 17:** Cho đồ thị $f(x)$, hàm số nghịch biến trên khoảng nào? * **Giải thích:** Đồ thị đạt cực đại tại $x = -1$ và cực tiểu tại $x = 2$. Do đó hàm đi xuống (nghịch biến) trên khoảng $(-1; 2)$. Khoảng $(0; 2) \subset (-1; 2)$ nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$. * **Đáp án:** **A** **Câu 18:** Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$. Hàm số $g(x) = -2f(x)$ đồng biến trên khoảng nào? * **Giải thích:** $g'(x) = -2f'(x)$. Để $g(x)$ đồng biến thì $g'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(x) < 0$, tức là tìm khoảng mà hàm $f(x)$ nghịch biến. Trên đồ thị, $f(x)$ nghịch biến từ cực đại $x=0$ đến cực tiểu $x=2$. Vậy $f(x)$ nghịch biến trên $(0; 2)$. Khoảng $(1; 2)$ nằm trong $(0; 2)$. * **Đáp án:** **A** **Câu 19:** Cho hàm số $y = \sqrt{x-1} + \sqrt{4-x}$. Mệnh đề nào sau đây đúng? * **Giải thích:** TXĐ: $x \in [1; 4]$. Đạo hàm $y' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - \frac{1}{2\sqrt{4-x}}$. $y' < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x-1}} < \frac{1}{2\sqrt{4-x}} \Leftrightarrow \sqrt{4-x} < \sqrt{x-1} \Leftrightarrow 4 - x < x - 1 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{5}{2}; 4\right)$. * **Đáp án:** **C** **Câu 20:** Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$? * **Giải thích:** Xét đáp án B: $y = 2x - \cos 2x - 5 \Rightarrow y' = 2 + 2\sin 2x = 2(1 + \sin 2x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ (và bằng 0 tại các điểm rời rạc). Vậy hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$. * **Đáp án:** **B** --- ### **PHẦN II. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN** **Câu 1:** Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 5$. Tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). * **Giải thích:** Ta có $y' = 3x^2 - 6x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Với $x = 0 \Rightarrow y = 5$, ta có điểm cực trị thứ nhất $A(0; 5)$. Với $x = 2 \Rightarrow y = 2^3 - 3\cdot2^2 + 5 = 1$, ta có điểm cực trị thứ hai $B(2; 1)$. Độ dài đoạn $AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.472$. * **Đáp án:** **4.47** **Câu 2:** Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}mx^2 + x + 2026$ đồng biến trên $\mathbb{R}$? * **Giải thích:** Đạo hàm $y' = x^2 - mx + 1$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Điều kiện là $\Delta = m^2 - 4 \le 0 \Leftrightarrow -2 \le m \le 2$. Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Tổng cộng có 5 giá trị. * **Đáp án:** **5** **Câu 3:** Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{m}{3}x^3 - 2x^2 + (m+3)x + m$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. * **Giải thích:** Đạo hàm $y' = mx^2 - 4x + (m+3)$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y' \ge 0, \forall x$. Nếu $m = 0 \Rightarrow y' = -4x + 3 \ge 0$ không thỏa mãn $\forall x$. Nếu $m \neq 0$, điều kiện là: $\begin{cases} a > 0 \\ \Delta' \le 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 0 \\ 4 - m(m+3) \le 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow 4 - m^2 - 3m \le 0 \Leftrightarrow m^2 + 3m - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \ge 1 \\ m \le -4 \end{array} \right.$ Kết hợp $m > 0$, ta được $m \ge 1$. Giá trị nhỏ nhất là $m = 1$. * **Đáp án:** **1** **Câu 4:** Cho $f'(x) < 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bất phương trình $f(22x) < f(x^2)$? * **Giải thích:** Vì $f'(x) < 0$ nên $f(x)$ là hàm nghịch biến. Bất phương trình $f(22x) < f(x^2) \Leftrightarrow 22x > x^2 \Leftrightarrow x^2 - 22x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 22$. Các giá trị nguyên của $x$ là $1, 2, 3, \ldots, 21$. Có tổng cộng 21 giá trị. * **Đáp án:** **21** **Câu 5:** Khi $A$ di động từ trái sang phải thì góc $\alpha \in (a; b) \cup (c; d)$ làm cho diện tích hình chữ nhật $ABCD$ giảm. Biết $\frac{m\pi}{n}$ là phân số tối giản và $a+b+c+d = \frac{m\pi}{n}$. Tính $D = m + n$. * **Giải thích:** Bán kính đường tròn $R = \frac{20}{2} = 10$. Gọi góc $MOA = \alpha$ với $\alpha \in [0; \pi]$. Diện tích hình chữ nhật là $S(\alpha) = 2 \cdot (R |\cos\alpha|) \cdot (R \sin\alpha) = 100 |\sin(2\alpha)|$. Hàm số $S(\alpha)$ nghịch biến (diện tích giảm) trên các khoảng mà đồ thị đi xuống từ đỉnh. Hàm số $|\sin(2\alpha)|$ giảm trên các khoảng: $\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$ và $\left(\frac{3\pi}{4}; \pi\right)$. Suy ra $a = \frac{\pi}{4}, b = \frac{\pi}{2}, c = \frac{3\pi}{4}, d = \pi$. Tổng: $a+b+c+d = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$. Tương ứng với $\frac{m\pi}{n}$ $\Rightarrow m=5, n=2$. Do đó $D = m + n = 5 + 2 = 7$. * **Đáp án:** **7** **Câu 6:** Tính $m + 2n$ biết khi vận tốc bơi của cá thuộc khoảng $(m; n)$ lớn nhất thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. * **Giải thích:** Gọi vận tốc của cá là $v$ km/h $(v > 5)$. Vận tốc thực tế cá vượt dòng là $v - 5$. Thời gian bơi hết 250km là $t = \frac{250}{v - 5}$. Hàm năng lượng: $E(v) = c \cdot v^3 \cdot t = \frac{250c \cdot v^3}{v - 5}$. Tính đạo hàm: $E'(v) = 250c \cdot \frac{3v^2(v-5) - v^3}{(v-5)^2} = 250c \cdot \frac{2v^3 - 15v^2}{(v-5)^2}$. Cho $E'(v) = 0 \Leftrightarrow v^2(2v - 15) = 0 \Leftrightarrow v = 7.5 = \frac{15}{2}$ (vì $v>5$). Lập bảng biến thiên, ta thấy $E'(v) < 0$ (năng lượng giảm, hàm nghịch biến) khi $v \in (5; 7.5)$. Khoảng lớn nhất là $(m; n) = \left(5; \frac{15}{2}\right)$. Suy ra $m = 5, n = \frac{15}{2}$. Tính $m + 2n = 5 + 2\left(\frac{15}{2}\right) = 5 + 15 = 20$. * **Đáp án:** **20**

Đáp án đề Toán Online TN12 - 2027