### PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều phương án **Câu 1:** Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến (tức là $f'(x) \le 0$) trên khoảng $(-2; 2)$. * **Đáp án: B. $(-2; 2)$.** **Câu 2:** Ta có $f'(x) = x^2(x^2 - 4x + 3) = x^2(x - 1)(x - 3)$. Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (nghiệm kép), $x = 1$ (nghiệm đơn), $x = 3$ (nghiệm đơn). Bảng xét dấu $f'(x)$: * $x \in (-\infty; 1)$: $f'(x) > 0$ (vì $x^2 \ge 0$, $(x-1)(x-3) > 0$) * $x \in (1; 3)$: $f'(x) < 0$ * $x \in (3; +\infty)$: $f'(x) > 0$ Hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x = 3$, nên hàm số có 1 điểm cực tiểu. * **Đáp án: C. 1.** **Câu 3:** Tích vô hướng $\vec{u}.\vec{v} = |\vec{u}|.|\vec{v}|.\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 5 \times 8 \times \cos(120^\circ) = 40 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -20$. * **Đáp án: C. $\vec{u}.\vec{v} = -20$.** **Câu 4:** Đáy $ABCD$ là hình thoi có $AB = 2$, $\widehat{ABC} = 60^\circ \Rightarrow \triangle ABC$ đều $\Rightarrow AC = 2$, $\widehat{BAD} = 120^\circ$. Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $SA \perp (ABCD)$ nên $S(0;0;2)$. Vì $\widehat{BAD} = 120^\circ$, ta chọn $\vec{AD}$ nằm trên trục $Ox \Rightarrow D(2;0;0)$. Điểm $B$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$ sao cho $AB=2$ và góc $\widehat{BAD} = 120^\circ \Rightarrow B(2\cos 120^\circ; 2\sin 120^\circ; 0) = (-1; \sqrt{3}; 0)$. $H$ là trung điểm $SA \Rightarrow H(0;0;1)$. Ta có: $\vec{u} = 2\vec{SH} + \vec{AD} - 2\vec{BH} = \vec{SA} + \vec{AD} - 2\vec{BH}$ (vì $H$ là trung điểm $SA$ nên $2\vec{SH} = \vec{SA}$) $\vec{SA} = (0;0;-2)$, $\vec{AD} = (2;0;0)$. $\vec{BH} = (1; -\sqrt{3}; 1) \Rightarrow 2\vec{BH} = (2; -2\sqrt{3}; 2)$. $\Rightarrow \vec{u} = (0; 0; -2) + (2; 0; 0) - (2; -2\sqrt{3}; 2) = (0; 2\sqrt{3}; -4)$. Độ dài $|\vec{u}| = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{12 + 16} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$. * **Đáp án: A. $2\sqrt{7}$.** **Câu 5:** Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\widehat{SOA}$ (do hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy là $A$). Ta có $\triangle SAO$ vuông tại $A$. $SA = a$. $ABCD$ là hình vuông cạnh $a \Rightarrow AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. $\tan \alpha = \tan \widehat{SOA} = \frac{SA}{AO} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$. * **Đáp án: A. $\sqrt{2}$.** **Câu 6:** Thể tích khối chóp $S.AMD$ là $V = \frac{1}{3}SA \cdot S_{\triangle AMD}$. Diện tích đáy: $S_{\triangle AMD} = S_{ABCD} - S_{\triangle ABM} - S_{\triangle MCD}$. $S_{ABCD} = a^2$. $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2}AB \cdot BM = \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$. $S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2}CD \cdot CM = \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$. $\Rightarrow S_{\triangle AMD} = a^2 - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$. Vậy $V = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^3}{6}$. * **Đáp án: A. $\frac{a^3}{6}$.** **Câu 7:** Tập xác định: $4x - x^2 > 0 \Leftrightarrow x \in (0; 4)$. Đạo hàm $f'(x) = \frac{4 - 2x}{(4x - x^2)\ln 10}$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$. $f'(x) > 0 \Leftrightarrow 4 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 2 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(0; 2)$. $f'(x) < 0 \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(2; 4)$. * **Đáp án: B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ và nghịch biến trên khoảng $(2;4)$.** **Câu 8:** Điều kiện: $x^2 - 5x + 4 > 0 \Leftrightarrow x < 1$ hoặc $x > 4$. Bất phương trình: $x^2 - 5x + 4 \le \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$ (do cơ số $\frac{1}{2} < 1$ nên đổi chiều bất phương trình). $\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 \le 4 \Leftrightarrow x^2 - 5x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 5$. Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm: $x \in [0; 1) \cup (4; 5]$. * **Đáp án: C. $[0; 1) \cup (4; 5]$.** **Câu 9:** Dựa vào bảng xét dấu của $f'(x)$: $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0 \Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu. $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=1 \Rightarrow x=1$ là điểm cực đại (dù $f'(x)$ không xác định tại $x=1$ nhưng hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên vẫn là cực trị). $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=2 \Rightarrow x=2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=4$, $f'(x)$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại. * **Đáp án: A. Hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.** **Câu 10:** Ta có $f'(x) = (3-x)(x-5)^2(x-7)^3$. Xét dấu $f'(x)$: Nghiệm của $f'(x)=0$ là $x=3$ (bậc 1), $x=5$ (bậc 2), $x=7$ (bậc 3). Hàm số chỉ đổi dấu qua nghiệm bậc lẻ. * $x > 7$: $f'(x) < 0$ * $x \in (5; 7)$: $f'(x) > 0$ * $x \in (3; 5)$: $f'(x) > 0$ * $x < 3$: $f'(x) < 0$ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(3; 7)$. * **Đáp án: C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(3;7)$.** **Câu 11:** Xét các hàm số: A. $y' = -1 - \frac{1}{(x-1)^2} < 0, \forall x \neq 1 \Rightarrow$ Hàm số không có cực trị. B. $y' = 2x$, có 1 cực trị. C. $y' = -4x^3 + 4x$, có 3 cực trị. D. $y' = x^3 + x = x(x^2+1)$, có 1 cực trị. * **Đáp án: A. $y = -x + \frac{1}{x-1}$.** **Câu 12:** $3^x = 5 \Leftrightarrow x = \log_3 5$. * **Đáp án: C. $x = \log_3 5$.** --- ### PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai **Câu 1:** Đặt hệ trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0) \Rightarrow C(a;2a;0)$. $S(0;0;a)$. $M$ là trung điểm $CD \Rightarrow M(\frac{a}{2}; 2a; 0)$. * **a) Sai.** $\vec{SB} - \vec{MB} = \vec{SB} + \vec{BM} = \vec{SM}$. Trong khi đó $\vec{SC} + \vec{SD} = 2\vec{SM}$. Hai véc tơ này không bằng nhau. * **b) Đúng.** $\vec{SA} = (0;0;-a)$, $\vec{SM} = (\frac{a}{2}; 2a; -a)$. $\cos(\vec{SA}, \vec{SM}) = \frac{\vec{SA}.\vec{SM}}{|\vec{SA}|.|\vec{SM}|} = \frac{a^2}{a \cdot \sqrt{\frac{a^2}{4} + 4a^2 + a^2}} = \frac{a^2}{a \cdot \frac{a\sqrt{21}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$. * **c) Sai.** $|\vec{AM} - \vec{SA}| = |\vec{AM} + \vec{AS}|$. Có $\vec{AM} = (\frac{a}{2}; 2a; 0)$, $\vec{SA} = (0;0;-a) \Rightarrow \vec{AM} - \vec{SA} = (\frac{a}{2}; 2a; a)$. Độ dài bằng $\sqrt{\frac{a^2}{4} + 4a^2 + a^2} = \frac{a\sqrt{21}}{2} \neq a\sqrt{21}$. * **d) Đúng.** $\vec{SM} = (\frac{a}{2}; 2a; -a)$, $\vec{AB} = (a;0;0)$. $\vec{SM}.\vec{AB} = \frac{a}{2} \cdot a + 2a \cdot 0 + (-a) \cdot 0 = \frac{1}{2}a^2$. **Câu 2:** Hàm số $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. * **a) Đúng.** $f(x) = 1 \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^0 \Leftrightarrow x = 0$. * **b) Sai.** $f(x) \ge 1 \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^x \ge \left(\frac{1}{2}\right)^0 \Leftrightarrow x \le 0$ (vì cơ số $\frac{1}{2} < 1$). Tập nghiệm là $(-\infty; 0]$. * **c) Sai.** Vì $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$ với mọi $x$, nên phương trình $f(x) = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m > 0$. * **d) Đúng.** Phương trình $2^{x^2-x} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x = 3 \Leftrightarrow 2^{x^2-x} \cdot 2^{-x} = 3 \Leftrightarrow 2^{x^2-2x} = 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - \log_2 3 = 0$. Phương trình có $\Delta' = 1 + \log_2 3 > 0$ nên luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo Vi-ét, tích 2 nghiệm là $-\log_2 3$. **Câu 3:** $f(x) = 3x^3 - 7x^2 + 5x - 6 \Rightarrow f'(x) = 9x^2 - 14x + 5$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = \frac{5}{9}$. Lập bảng biến thiên ta thấy hàm đạt cực đại tại $x = \frac{5}{9}$ và cực tiểu tại $x = 1$. * **a) Sai.** Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{5}{9}$ và cực tiểu tại $x=1$. * **b) Đúng.** Hàm số đồng biến trên $(-\infty; \frac{5}{9})$ và $(1; +\infty)$. Khoảng $(-1; 0)$ là tập con của $(-\infty; \frac{5}{9})$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này. * **c) Sai.** Giá trị cực đại $f\left(\frac{5}{9}\right) = -\frac{1183}{243} < 0$. Giá trị cực tiểu $f(1) = -5 < 0$. Hai điểm cực trị đều nằm phía dưới trục $Ox$ (cùng phía). * **d) Sai.** Vì cơ số $\frac{\pi}{4} < 1$ nên $\log_{\frac{\pi}{4}}[f(a)] < \log_{\frac{\pi}{4}}[f(b)] \Leftrightarrow f(a) > f(b) > 0$. Tuy nhiên, hàm số chỉ nhận giá trị dương khi $x > x_0$ (với $x_0 > 1$ là nghiệm của $f(x)=0$). Trên khoảng $(x_0; +\infty)$, hàm số đồng biến nên với $a < b$ thì $f(a) < f(b)$. Do đó không tồn tại $a, b$ thỏa mãn. **Câu 4:** $y = \frac{x^2 + 3x + 6}{x + 1}$ (TXĐ: $x \neq -1$). * **a) Đúng.** $y' = \frac{(2x+3)(x+1) - (x^2+3x+6)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}$. * **b) Đúng.** $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -3$. Qua $x=1$, $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. $y(1) = 5$. Điểm cực tiểu là $(1; 5)$. * **c) Sai.** Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3; -1)$ và $(-1; 1)$. Không được nói nghịch biến trên khoảng $(-3; 1)$ do bị gián đoạn tại $x = -1$. * **d) Sai.** Điểm cực đại là $(-3; -3)$, khoảng cách đến $Ox$ là $|-3| = 3$. Điểm cực tiểu là $(1; 5)$, khoảng cách đến $Ox$ là $|5| = 5$. Tổng khoảng cách là $3 + 5 = 8$. --- ### PHẦN III. Trắc nghiệm trả lời ngắn **Câu 1:** Gọi $n$ là số lần giảm giá 500 nghìn đồng (0,5 triệu đồng). Giá bán mới: $P(n) = 14 - 0,5n$ (triệu đồng). Số lượng tivi bán ra: $x(n) = 1000 + 100n \Rightarrow n = \frac{x - 1000}{100}$. Thay $n$ vào $P$, ta có hàm giá bán theo $x$: $P(x) = 14 - 0,5\left(\frac{x - 1000}{100}\right) = 19 - \frac{x}{200}$. Doanh thu: $R(x) = x \cdot P(x) = 19x - \frac{x^2}{200}$. Hàm chi phí đề bài cho: $C(x) = 12000 - 3x$. Hàm lợi nhuận: $L(x) = R(x) - C(x) = 19x - \frac{x^2}{200} - (12000 - 3x) = -\frac{1}{200}x^2 + 22x - 12000$. Lợi nhuận đạt cực đại tại đỉnh parabol: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{22}{2 \cdot (-1/200)} = 2200$. Khi đó, giá bán cần đặt là: $P(2200) = 19 - \frac{2200}{200} = 8$ (triệu đồng). * **Đáp án: 8** **Câu 2:** *Lưu ý: Đề bài trong ảnh bị khuyết số liệu về độ dài cạnh (chỉ ghi "đều bằng. Thể tích...").* Tuy nhiên, công thức tổng quát cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh (cạnh đáy và cạnh bên) bằng $a$ là: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{day} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}a^3$. *(Do thiếu dữ kiện cụ thể của $a$ nên không thể điền số chính xác vào ô trống. Câu trả lời hợp lý nhất là ghi nhận đề thiếu dữ kiện).* **Câu 3:** Ta có $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x + 3}$. Đạo hàm: $y' = \frac{(2x+2)(x+3) - (x^2+2x-2)}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x + 8}{(x+3)^2}$. $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = -2$ hoặc $x = -4$. Bảng xét dấu $y'$ cho thấy $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x = -4$. Vậy hàm số đạt giá trị cực đại tại $x = -4$. Giá trị cực đại: $y(-4) = \frac{(-4)^2 + 2(-4) - 2}{-4 + 3} = \frac{6}{-1} = -6$. * **Đáp án: -6** **Câu 4:** Vận tốc của chất điểm là $v(t) = s'(t) = -t^2 + 36t - 35$. Chất điểm có vận tốc giảm khi gia tốc $a(t) = v'(t) < 0$. Ta có $a(t) = -2t + 36$. $a(t) < 0 \Leftrightarrow -2t + 36 < 0 \Leftrightarrow t > 18$. Kết hợp với điều kiện theo dõi trong 40 giây đầu ($0 \le t \le 40$), khoảng thời gian vận tốc giảm liên tục là $t \in (18; 40]$. Suy ra $a = 18$ và $b = 40$. Giá trị lớn nhất của $b - a = 40 - 18 = 22$. * **Đáp án: 22** **Câu 5:** Gọi đơn giá của rau muống, bí xanh, cà chua lần lượt là $x, y, z$ (nghìn đồng/kg). Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} 19x + 15y + 10z = 615 \\ 20x + 12y + 8z = 540 \\ 25x + 12y + 7z = 570 \end{cases}$ Giải hệ phương trình này: Lấy (3) trừ (2) ta được: $5x - z = 30 \Rightarrow z = 5x - 30$. Thay vào (2): $20x + 12y + 8(5x - 30) = 540 \Rightarrow 60x + 12y = 780 \Rightarrow 5x + y = 65 \Rightarrow y = 65 - 5x$. Thay $y$ và $z$ vào (1): $19x + 15(65 - 5x) + 10(5x - 30) = 615$ $19x + 975 - 75x + 50x - 300 = 615$ $-6x = -60 \Rightarrow x = 10$. Suy ra $y = 65 - 50 = 15$ và $z = 50 - 30 = 20$. Tổng số tiền ngày Thứ Bảy: $T = 50x + 30y + 20z = 50(10) + 30(15) + 20(20) = 500 + 450 + 400 = 1350$ (nghìn đồng). * **Đáp án: 1350** **Câu 6:** Hàm số $f(x) = mx^3 + 4(m-1)x^2 + 3mx + 2$. $f'(x) = 3mx^2 + 8(m-1)x + 3m$. Hàm số không có điểm cực trị khi và chỉ khi $f'(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$, tức là $f'(x) \ge 0, \forall x$ hoặc $f'(x) \le 0, \forall x$. * **Trường hợp 1:** $m = 0 \Rightarrow f'(x) = -8x$. Đổi dấu tại $x=0 \Rightarrow$ có cực trị (Loại). * **Trường hợp 2:** $m \neq 0$. Điều kiện là $\Delta' \le 0$. $\Delta' = [4(m-1)]^2 - (3m)(3m) = 16(m^2 - 2m + 1) - 9m^2 = 7m^2 - 32m + 16$. Cho $7m^2 - 32m + 16 \le 0 \Leftrightarrow \frac{4}{7} \le m \le 4$. Do $m$ là số nguyên nên $m \in \{1; 2; 3; 4\}$. Có tất cả 4 giá trị nguyên thỏa mãn. * **Đáp án: 4**

Đáp án đề Toán Tặng Kèm 3 - 2027